Partie D - Une démonstration

Imaginons ne pas avoir conjecturé la position de  `\text{E}` sur le côté `\text{[AB]}` qui minimise l'aire à la partie A. Nous allons déterminer le minimum de la fonction `A` à l'aide de la définition suivante.

Définition
Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I` de `\mathbb{R}` .  `f` est croissante (respectivement décroissante) sur  `I` si et seulement si quels que soient `x` et `y` de `I` tels que  `y>x` on a `f(y) > f(x)` (respectivement `f(y)).

1. Soit `x,y` deux réels de `[0;2]` et `y > x` , démontrer que `A(y)-A(x)=2(y+x-2)(y-x)` .
2. Expliquer pourquoi le signe de `A(y)-A(x)` est le signe de `(y+x-2)` .
3. Expliquer pourquoi `A` est croissante sur `[1;2]`  ; dresser le tableau de variations de `A` .
4. Donner le minimum de `A` sur `[0;2]` .
5. Interpréter ce résultat dans le contexte du problème.